Lösungen zur Übung 2.1.2-1:

Potential einer Feder und Folgerungen

Gegeben sei eine klassische eindimensionale Feder (Dehnung nur in x-Richtung), an der eine Kraft F wirken kann, und an die wir ggf. noch eine Masse m hängen können.  
Klassische Feder
Fragenkomplex 1:  
  Eine Kraft F bewirkt eine Auslenkung Dx (relativ zur Position des Federendes bei F = 0) in Richtung der Kraft. Wie ist dann sinnvollerweise die Federkonstante kFed definiert?
Hinweis: Eine andere Feder mit der Federkonstanten 2kFed würde bei gleicher Kraft nur um Dx/2 ausgelenkt werden.
 
Die Federkonstante ist definiert als kFed = F/Dx.
Nimmt man als "Feder" einen Stab der Länge l0, Querschnittsfläche A und Elastizitätsmodul E, erhält man (mit Spannung s = F/A, Dehnung e = Dl/l0, E = s/e) kFed = E · A/l0.
 
Wir denken uns jetzt noch die Masse m angehängt. Die Masse m ist jetzt durch die Feder an die Decke gebunden. Was ist das "Bindungs"potential für die Masse m? Rechnung und Graph!  
Es gilt für das Potential ganz allgemein
       
U = l
ó
õ
l0 = 0
F · dl'  = ½kFed · l2
       
Der Graph ist damit eine schlichte Parabel (s.u.)
 
Ändert sich das Bindungspotential wenn die Decke jetzt in x-Richtung auch verschiebbar ist, aber wir den Nullpunkt geschickt wählen?  
Nein, das Bindungspotential ändert sich nicht. Allenfalls das Minimum der Parabel ist nicht mehr bei Null, das ist aber bedeutungslos solange wir uns immer auf das Dl beziehen.  
Die klassische Feder ist vollkommen elastisch. Was bedeutet das wohl?
Hinweis: Vergleiche den Abstand Masse m - Decke im kräftefreien Zustand vor und nach zwischenzeitlichem Anlegen einer beliebigen Kraft F.
 
Elastisch heißt.
1. Bei Wegnahme der Kraft zurück auf Ausgangszustand; keine bleibende Verformung!
2. In der Regel haben wir auch lineares Kraft - Auslenkungsgesetz auch für beliebig große Auslenkungen.
 
Zeichne die Kraft F - Auslenkung Dx Kurve direkt aus der Potentialkurve. Wie macht man das?  
Ableitung einer Parabel = Gerade.  
 
Fragenkomplex 2:
Wenn wir die Masse m jetzt um ein (beliebiges) Dx auslenken, und dann loslassen, wird die Masse auf ewige Zeiten eine Schwingung ausführen (weil wir noch keine Dämpfung eingebaut haben).
Mit welcher Frequenz findet diese Schwingung statt?
Hinweis: Wir machen hier MaWi; keinePhysik. Man darf das berechen, muss aber nicht. Nachschauen im Physikbuch ist erlaubt.
1. Nachschauen im Physikbuch gibt sofort: w = 2pn = (kFed/m)½
2. Lösen der relevanten Differentialgleichung md2x/dt2 + kFed · x = 0 mit Ansatz x = sin(wt) führt sofort auf w2m + kFed = 0 und damit zur gesuchten Lösung.
Welche Energie steckt in der Schwingung?
Wie kann man sich das Energieniveau einer Schwingung mit der Auslenkung 2Dx in der Potentialkurve sehr anschaulich darstellen?
Zu jeder Zeit ist die Summe aus potentieller Energie (= Potential) und kin., Energie = Gesamtenergie = const. Das läßt sich graphisch sehr anschaulich darstellen:
     
Potential Masse an Feder
     
Zu jeder Amplitude gíbt es ein in denPotentialtopf leicht einzeichenbares Energieniveau = Gesamtenenergie zu jeder Zeit und jeder Position. Da alle Amplituden erlaubt sind, gibt es ein Kontinuum an erlaubten E- Niveaus
Die Masse pendelt jetzt zwischen zwei Positionen. Wo ist sie im Mittel?
Wie kann man die Kurve der mittleren Position im Potentialbild einzeichnen?
Man muss über alle horizontalen Linien mitteln, die eine linke und rechte Position verbinden. Da die Parabel symmetrisch ist, liegt der Mittelwert immer bei x = 0. Die Ortskurve der Mittelwerte ist damit identisch mit der U-Achse.

Fragenkomplex 3:
Eine ideale Feder gibt es in der Wirklichkeit nicht. Ziehen wir sie zu lang, oder stauchen wir sie zu sehr, werden wir Probleme bekommen.
Skizziere die Potential- und Kraftkurve für eine reale Feder, die bei großen und kleinen Auslenkungen sehr viel steifer wird, d.h. ihre Länge trotz weiter zunehmender Kraft kaum mehr ändert. Mache die Übergänge im Potentialbild "weich".
Das ist einfach. Die Steigung des Potentials muss bei größeren Auslenkungen schneller wachen als be einer Parabel. Das sieht dann so aus wie unten gezeigt. Nach wie vor könnten wir Energieniveaus usw. einzeichnen.
 
Hartwerdende Feder bei großen Auslenkungen
 
Skizziere, nur mal so zum Spaß, die Potentialkurve einer Feder, die beim Zusammendrücken hart und immer härter wird, während sie beim Auseinanderziehen immer weicher wird bis kS Þ 0.
Klarer Fall; sieht aus wie unten gezeichnet.
 
Realpotential feder
 
Was sich allerdings ändert ist, dass x(t) oder dx/dt(t) keine schlichten sin / cos Funktionen der Zeit mehr sind. Da aber die Schwingung immer noch periodisch ist, können wir eine Fourierreihe ansetzen: x(t) = x0sin(w0t) + x2sin(2wt) + ..... Wir haben in unserer Schwingung jetzt "höhere Harmonische"; bei einem Musikinstrument spricht man von Obertönen.
Wie ist das in beiden Fällen jetzt mit der im Oszillator steckenden Energie?
Kann man das immer noch im Potentialbild leicht sehen?
Schematisch läuft der Massenpunkt immer noch am Potential "hoch" bis zur Stelle größter pot. Energie = Stillstand. Diese Stelle hat links und rechts per definitionem (= Energieerhaltung) dieselbe Höhe; sie ist gleich der Gesamtenergie zu jedem Zeitpunkt. Damit können wir wieder das Gesamtenergiveau einzeichnen wie gezeigt.
Zeichne ein, wo sich die Masse sich jetzt je nach Amplitude im Mittel befinden wird, falls sie hin-und-her schwingt ("oszilliert").
Wie oben ausgeführt, konstruieren wir das erstmal graphisch. Rechnen ist nämlich gar nicht so einfach
 
Mittlere Position in Potential
 
Die rote Kurve gibt offenbar an, wo die Masse m sich je nach Amplitude im Mittel befindet.
Fragenkomplex 4:
Wir machen jetzt das System einfach kleiner - so klein wie es irgendwie geht.
Die Masse m ist dann ein Atom. Die "Feder" endet auch nicht mehr an der "Decke", sondern am Nachbaratom. Ändert sich was gegenüber den oben untersuchten Fällen?
Nein - zumindest nicht solange wir klassisch argumentieren und das Potential nutzen, das mit kleinen Abstände härter, und mit großen Abständen weicher wird. Falls die Quantenmechanik, wie der Name ja suggestiert, die Energie quantelt, können wir allenfalls erwarten dass die erlaubten Energieniveaus jetzt irgendwie gequantelt sind, z.B.so:
     
Energieniveaus klassisch - Quantenmechanik
     
Die Federkonstante bekommen wir aus dem E-Modul - siehe oben: kFed = E · A/l0. dabei ist dann offenbar l0 = Bindungslänge oder ungefähr Gitterkonstante bei Kristallen, und A = (l0)2
     

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)