2.1.5 Merkpunkte zu Kapitel 2.1. Bindungspotentiale und erste Eigenschaften

Zwischen zwei Ionen gibt es anziehende und abstoßende Kräfte; im Gleichgewichtsabstand r0=Bindungsabstand ist die Summe der Kräfte=0  
U(r) = – r
ó
õ
r0
F(r') · dr'
F = – grad[U(r)]  =   – U(r)

Fx = – U
x
,   Fy = – U
y
,    Fz = – U
z
Für Ionen ist die anziehende Kraft=Coulombkraft; sie nimmt als Funktion des Abstands r mit r–2 ab.  
Über die abstoßende Kraft wissen wir nur, dass sie bei zu großer Nähe sehr schnell sehr groß wird, d. h. mit einer Funktion wie r–m, m >> 2) anwächst.  
Statt Kräften betrachten wir aber besser das zugehörige Potential U(r), gleich dreidimensional als Funktion des Ortsvektors r  
Das Potential der Coulombkraft hat also die Funktionalität
UCoulomb µ r–1
 
         
Aus abstoßendem Potential und anziehendem Potential kann man, falls überhaupt eine Bindung vorliegt, durch (vorzeichenrichtige) Addition immer einen Potentialtopf U(r) konstruieren  
Bindungspotential
Konstruktion Potentialtopf
Das abstoßende Potential wird mit B / rm beschrieben  
Das anziehende Coulombpotential wird mit ACou / r beschrieben; mit ACou=(q1 · q2)/4pe0  
Falls wir nicht nur die Coulomb Wechslwirkung zwischen zwei isolierten Ionen betrachten, sondern die zwischen einem Ion in einem Kristall und allen (¥ vielen) anderen, muss ACou mit der Madelung-Konstanten a » 1,5 ... 4,5 multipliziert werden  
Als eine allgemeine Näherungsformel mit A=a · ACou dient dann die Gleichung  
 
UIon(r) B 
rm
  –   A 
r 
 
 
Um die Bindungsenergie zu erhalten, muss zur Tiefe des Potentialtopfes U0 noch die Energiebilanz aus Ionisationsenergie I und Elektronenaffinität A addiert werden, da wir ja zuerst aus Atomen Ionen machen müssen.  
XAtom + I  =  X+Ion
XIon + A  =  XAtom
Kleine Ionisationsenergien liegen im Bereich von 5 eV (Alkali-Metalle), große Elektronenaffinitäten im Bereich 3 eV (Halogene).  
   
Von der Ionenbindung kommt man leicht zu jeder Bindung: sie braucht einen Potentialtopf und kann immer in folgender Form geschrieben werden:
Im Bindungspotential steckt:
  • Struktur des Festkörpers (Kristall, welcher Typ, ...).
  • Elastizitätsmodul E.
  • Thermischer Ausdehnungskoeffizient a .
  • Schwingungsfrequenz der Atome im Kristall.
  • Maximale Bruchfestigkeit.
  • Ungefährer Schmelzpunkt.
   
UBdg(r) B 
rm
  –   A 
rn
 
   
Von den vier Unbekannten A, B, m, n können zwei durch die leicht zu messenden Größen U0 und r0 substitioniert werden; n ist manchmal bekannt (s. o.).  
Im Bindungspotential stecken viele wichtige Eigenschaften des zugehörigen Kristalls.  
     
Der Elastizitätsmodul E misst die durch eine mechanische Spannung s verursachte Dehnung e eines Materials.
Zugversuch
Er ist gegeben durch  
   
E  =  1  
r0 
· d2U 
dr2 
 
     
Die mit der (absoluten) Temperatur T verbundene thermische Energie Etherm folgt der extrem wichtigen Formel des Gleichverteilungssatzes Þ  
Bei der (absoluten) Temperatur T hat
ein Teilchen in einem Teilchensystem (Kristall, Gas, ...) im Mittel die thermische Energie
(innere Energie)

UTeilchen = ½f kBT

(bei f Freiheitsgraden).
Die Energie kann nur in Schwingungen oder Vibrationen der Atome um die Gleichgewichtslage stecken:  
   
Kristall Momentaufnahme
 
   
In jedem Augenblick hat ein Atom drei linear unabhängige Geschwindigkeitsvektoren (® kin. Energie; nicht eingezeichnet) und drei linear unabhängige Ortsvektoren relativ zur Ruhelage (® pot. Energie); das ergibt sechs Freiheitsgrade für die Energie.  
Pontentialtopf und Energieniveaus
Die Gesamtenergie einer Schwingung ist aber konstant (= Epot(max) oder Ekin(max)) und kann deshalb als Energieniveau in den Potentialtopf eingezeichnet werden.  
Der thermische Ausdehnungskoeffizient folgt damit aus der Asymmetrie des Potentialtopfes und kann somit berechnet werden.  
Die Schwingungsfrequenz n ergibt sich aus Massen und "Federkonstante" zu
n » 1013 Hz.
 
Die max.theoretische Bruchfestigkeit ist bei ca. 30 % Dehnung (e » 0,3) erreicht  
In der Praxis brechen Materialien aber früher, da der Bruch durch Defekte bestimmt wird.  
Der Schmelzpunkt Tm ist ungefähr durch die Tiefe UBdg des Potentialtopfes gegeben:
kBTm » UBdg
 
       
Die Art der Bindung bestimmt die atomare Struktur des Festkörpers:
  • Ungerichtete Bindung: Dichteste Packungen (bei elektr. Neutralität)
  • Gerichtete Bindung: Zahl und Anordnung entscheidend
Bindung und Kristall
Für uns besonders wichtig: 4 gerichtete Bindungsarme im Tetraederwinkel (= größtmöglicher gleichgroßer Winkel = Schnittwinkel der Raumdiagonalen eines Würfels)  
     
Aufgaben:    
     
Fragebogen
Einfache Fragen zu 2.1
   
     
Hier noch ein "Multiple Choice"-Test, der etwas über den Stoff hinausgeht – man kann es ja mal probieren!    
     
Fragebogen
"Multiple Choice"-Fragen zu 2.1
   
       


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