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Die Ausgangsformeln sind |
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| nL = ND · |
æ
ç
è | 1 – |
1
1 + exp (ED – EF)/kT |
ö
÷
ø | (1) |
| exp | EF
kT | = |
nL
NLeff | · | exp |
EL
kT | (2) |
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Wir müssen "nur" den Ausdruck für EF
in der 2. Formel in die erste Formel einsetzen, und nach nL auflösen - das ist alles. |
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Sowas kann man mehr oder weniger elegant machen. Da wir das Ergebnis kennen,
und es nicht besonders einfach aussieht, können wir aber erwarten, dass es auch keinen besonders einfachen Weg dahin
gibt. |
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Als erstes formen wir (1) etwas um. |
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| nL | = | ND · |
æ
ç
è | 1 – |
1
1 + exp (ED – EF)/kT |
ö
÷
ø | | |
| | | | | |
= | ND · |
æ
ç
è |
1 + exp (ED – EF)/kT – 1
1 + exp (ED – EF)/kT |
ö
÷
ø | | |
| | | | | |
= | ND · |
æ
ç
è |
exp (ED/kT)
exp (ED /kT) + exp
(EF/kT) | ö
÷
ø |
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Für exp(EF/kT) setzen wir jetzt die 2. Gleichung
ein und erhalten |
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| nL | = | ND · |
æ
ç
è |
exp (ED/kT)
exp (ED /kT) + (nL/NLeff)
· exp (EL/kT) | ö
÷
ø
|
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Jetzt müssen wir nach nL auflösen, und das
führt unweigerlich auf eine quadratische Gleichung. |
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Es könnte einfacher werden, wenn wir die Kehrwerte betrachten, wir haben |
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1
nL | = | 1
ND | · | æ
ç
è
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exp (ED /kT) + (nL/NLeff) ·
exp (EL/kT)
exp (ED/kT) |
ö
÷
ø |
1
nL | – |
nL · exp (EL/kT)
NLeff · ND · exp (ED/kT) |
– | 1
ND |
= 0 |
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Jetzt kommt ein möglicherweise "eleganter" Trick: Wenn wir das
Ergebnis betrachten und mit der bekannten Formel zur Lösung
quadratischer Gleichungen vergleichen, erscheint es plausibel, dass man zunächst mal nicht nL,
sondern 1/n2L berechnet, weil dann die Wurzel im Zähler auftauchen muss. |
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Wir dividieren also durch nL, sortieren, und erhalten |
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1
n2L |
– | 1
nL · ND | – |
exp (EL/kT)
NLeff · ND · exp (ED/kT) |
= 0 | | | |
| | | |
| 1 · | x2 |
– |
1
ND | · x |
– |
exp (EL – ED)/kT
NLeff · ND |
= 0 |
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Wir haben also 1/nL = x gesetzt, und könne
jetzt die Lösungsformel für die quadratische Gleichung der Form ax2 + bx + c verwenden. Sie
lautet bekanntlich |
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| x1,2 | = |
– b ± (b2 – 4ac)½
2a |
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Wir erhalten entsprechend |
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1
nL | = |
1
2 | · |
æ
ç
è |
1
ND | ± |
æ
ç
è |
1
N2D |
+ |
4 · exp (EL – ED)/kT
NLeff · ND |
ö
÷
ø | 1/2 |
ö
÷
ø |
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Für nL resultiert damit |
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| nL | = |
2
1/ND ± 1/ND · {1
+ 4 · (ND/NL) · exp (EL – ED)/kT }½ |
nL =
|
2ND
| |
| 1 + | æ
ç
è | 1 +
| 4 · ND
NLeff |
· exp | EL – Ed
kT |
ö
÷
ø | 1/2 |
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q.e.d. Also im Prinzip ganz einfach. Und wer so was
nicht auf Anhieb schafft - darauf kommt es nur sehr bedingt an. Wichtig ist, dass man das Prinzip versteht, die Lösung
der Gleichungen findet sich dann schon. Und auch, warum vom "±" nur noch das "+" übrig bleibt.
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© H. Föll (MaWi 2 Skript)
5.2.4 Massenwirkungsgesetz und Ladungstraegerdichten 
Mit Frame