Widerstand bei Überlagerung verschiedener Stoßprozesse

Ein froher Mut beim Postulieren wichtiger Gesetze ist ja was schönes, eine belastbare Herleitung ist aber im Zweifelsfall noch schöner.
Schauen wir also mal, wie sich die mittlere freie Weglänge l bei Vorliegen mehrerer unabhängiger Stoßprozesse darstellt.
Beispielsweise könnten in einem Material zwei verschiedene Verunreinigungen der Sorte 1 und 2 vorliegen, die jede für sich die mittlere freie Weglänge l 1 bzw. l 2 verursacht.
Wie läuft das insgesamt? Am einfachsten macht man sich das klar, indem man irgendeinen insgesamt zurückgelegten Weg L anschaut.
Nachdem das Teilchen diesen Weg L zurückgelegt hat, hat es (immer im Mittel, natürlich)
L/l 1 Stöße mit Verunreinigung 1,
L/l 2 Stöße mit Verunreinigung 2
durchgeführt.
Die Gesamtzahl P der Stöße ist damit
P  =  L 
l 1
  +  L 
l 2
 :=  L 
l eff
Wir können also leicht eine effektive freie Weglänge l eff  definieren, die eine Art Mittelwert der individuellen freien Weglängen darstellt. Wir haben also (gleich verallgemeinert)
1 
leff
 =  1 
l1
  +  1 
l2
 +  ...  =
S
i
   1 
li
In unserer Widerstandsformel (Für r = 1/s formuliert) steht natürlich im Zweifel die effektive freie Weglänge, denn nur die Gesamtzahl der Stöße ist für den Widerstand entscheidend. Setzen wir die Formel für leff  ein, erhalten wir
r  =  me · vF
n · e2 · leff
  =  me · vF
n · e2
 ·  æ
ç
è
1 
l1
 +  1 
l2 
 +  .... ö
÷
ø
  =  r1 + r2 + ...
Damit ist gezeigt, daß man die aus verschiedenen Stoßprozessen resultierenden Teilwiderstände tatsächlich einfach aufaddieren darf.
   
Im Nachtrag machen wir uns noch schnell (selber) klar, daß exakt die gleich Beziehung für die effektive Beweglichkeit  µeff  und die effektive mittlere Stoßzeit  teff  zwischen Stößen gelten muß, d.h.
1 
µeff
  =   1 
µ1
  +  1 
µ2
 +    ... 
1 
teff
  =  1 
t1
  +  1 
t2
 +    ... 

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gehe zu 2.4.2 Elektrische Leitfaehigkeit des freien Elektronengases

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© H. Föll (MaWi 2 Skript)