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Die sogenannten "Zwillingskorngrenzen" sind in
Silizium, aber auch in vielen anderen Kristallen die mit Abstand häufigste
Korngrenze, da mit besonders niedriger Energie ausgestattet. Dies wird sofort
klar, wenn man sich eine (kohärente) Zwillingskorngrenze einmal
konstruiert |
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Wir betrachten die 110 - Projektion des Diamantgitters |
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Wir führen nun einen Stapelfehler ein, d.h. wir addieren
die nächst gelb-grüne lage gespiegelt ("zick" statt
"zack"; oder "cis" statt "trans" in der Sprache
der Strukturchemie) |
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Machen wir jetzt mit "zack" weiter, haben wir einen
simplen Stapelfehler produziert. Fahren wir aber mit "zick" fort,
entsteht folgendes Bild |
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Es ist eine (Zwillings)korngrenze
entstanden! Diese Korngrenze hat offenbar eine hohe Symmetrie. Zu ihrer
geometrischen Beschreibung müssen wir ganz allgemein zwei Parameter
getrennt betrachten: |
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1. Die Korngrenzenebene; d.h. die kristallographische Ebene,
z.B. gegeben durch die Miller-Indizes in einem der beiden Körner (dem
Referenzkristall). In unserem Beispiel ist das eine {111} Ebene (und zwar, nur
in diesem Fall, in jedem der beiden Körner). |
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2. Die Orientierung der Körner relativ zueinander.
Im allgemeinen Fall nehmen wir das Referenzkorn und drehen es um beliebige
Winkel a um die x-Achse (z.B. die [100] Achse),
danach um eine Winkel b um die y-Achse (d.h.
[010]),anschließend um den Winkel g um die
z-Achse ([001]). |
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Die Mathematik sagt uns, daß diese Operation aufgrund der Eulerschen Beziehung mit nur
zwei Winkeln beschreibbar ist: |
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Es bleibt die Erkenntnis:
Eine simple ideale Korngrenze wird i.a. durch 5 Parameter
beschrieben: |
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Zwei Winkel, die die relative Orientierung der
Körner beschreiben |
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Drei Miller Indizes, die die Lage der Korngrenze
relativ zum Referenzkorn angeben. |
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Dazu kommen noch die
"Komplikationsparameter" bei realen Korngrenzen, z.B.: |
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Die Korngrenze ist nicht flach (d.h. nur auf einer Ebene),
sondern beliebig gekrümmt. |
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Die Korngrenze enthält atomare Stufen und andere
"Korngrenzendefekte". |
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Die Korngrenze enthält "Dreck" oder
Ausscheidungen. |
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Die Korngrenze ist gar nicht kristallin, sondern eine
dünne amorphe Schicht zwischen den Kristalliten. |
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| Fazit: |
Korngrenzen sind ziemlich kompliziert
Phasengrenzen sind noch komplizierter |
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| Analyse des
kohärenten Zwillings
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Die gezeigte Korngrenze kann gedanklich auf
mehrere Arten erzeugt werden; es ist hilfreich, sich das genauer
anzuschauen: |
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1. Der Zwilling als reine
Dreh-Grenze ("Twist Boundary"). Rezept dazu: |
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Kristall entlang {111} aufschneiden |
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Obere Hälfte um 180° (oder 60°) drehen
("Twist") |
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Wieder auf der {111} Ebene zusammenfügen - man
erhält die Zwillingskorngrenze wie oben gezeichnet |
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2. Zwilling als rein Kipp-Grenze
("Tilt Boundary"). Rezept dazu: |
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Entlang {111} aufschneiden |
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Um Achse in der Schnittebene (senkrecht Papierebene, d.h.
<110>) drehen. |
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Zusammenfügen, fehlendes Material passend einfüllen,
überschüssiges entnehmen - man erhält wiederum die
Zwillingskorngrenze wie oben gezeichnet. |
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Fazit: Es gibt mehrere Arten um ein und
dieselbe Korngrenze zu erzeugen |
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Das muß auch so sein, denn schließlich muß
in kubischen Kristallen jede Drehung um 60°, 180°, 240°,.... um
eine beliebige <111> Achse immer zum gleichen Ergebnis führen. |
| Korngrenzenenergie
und Orientierung
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Wie immer lautet die weiterführende Frage:
Hängt die Energie pro Flächeneinheit einer Korngrenze (die
Korngrenzenenergie) von den 5 Orientierungsparametern ab? Falls ja, stellen
sich weitere Fragen: |
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Gibt es besondere Orientierungen mit besonders kleiner
Energie? |
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Gibt es für eine gegebene Korngrenzengeometrie die
Möglichkeit die Energie zu minimieren? |
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Gibt solche Mechanismen sowohl für ungünstige
Orientierungen als auch für ungünstige Flächen? |
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Am Beispiel unserere "kohärenten
Zwillingskorngrenze" im Diamantgitter kann man sofort sehen, daß
alle Fragen mit ja beantwortet werden können |
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Die Energie der Zwillingskorngrenze ist sicher recht klein, denn es sind
weder Bindungslängen noch Bindungswinkel verändert. Sie sollte
vergleichbar mit der Stapelfehlerenergie sein. damit wird schon deutlich, warum
man in kubischen Kristallen in de Praxis immer viel Zwillingskorngrenzen
findet; denn nur für diesen Korngrenzentyp bleiben die Bindungen nahezu
unverändert. |
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Stellen wir uns nun eine Korngrenze vor, die nach
obigen Rezepten erzeugt wird, aber mit Twist- oder Tilt-Winkeln die leicht
"daneben" liegen; z.B. 58° statt 60°. Nichts wird mehr
passen, die Energie wird mit Sicherheit steigen. |
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Nichts wird mehr passen, die Energie wird mit Sicherheit
steigen. |
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Wir erwarten damit zwangsläufig eine
starke Abhängigkeit der Korngrenzenenergie von der Kornorientierung;
zumindest in der "Umgebung" von speziellen, niederenergetischen
Korngrenzen! |
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Stellen wir uns nun eine Korngrenze vor, bei der
wir genau 60° um die <111> Achse rotieren, aber die beiden Kristalle
nicht auf der {111}-Ebene, somdern auf einer "schrägen" Ebene
mit einem kleinen Winkel zur {111}-Ebene zusammenfügen; z.B. auf der unten
gezeichneten roten Ebene. |
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Man bekommt erhebliche Probleme; die Körner "passen nicht".
Die blauen Atome sind nicht richtig eingebaut; die detaillierte Struktur ist
unklar. Die Energie wird sicher höher sein, als bei der {111} Ebene als
Korngrenzenebene; wir erwarten ebenfalls eine starke Abhängigkeit der
Korngrenzenenergie von der Korngrenzenebene: |
| Optimierung der Korngrenzenenergie
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Die Antwort auf die Frage nach der Optimierung der
Korngrenzenenergie bezüglich der kristallographischen Ebene liegt damit
ebenfalls auf der Hand: |
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Die Ebene der Korngrenze wird aufspalten (facettieren) in die
(wenigen) Ebenen die bei der gegebenen Orientierung die kleinsten Energien
haben. |
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Korngrenze auf Ebene geringster Energie |
| Hochenergetische Lage |
| Kompromiß durch Facettierung: Mehr Fläche aber weniger
Energie |
(die beiden blauen Linien sind die Projektione der (111) - Ebenen) |
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Damit ergibt sich (zunächst) eine
große Vereinfachung: Die kristallographische Ebene interessiert weniger;
denn es gibt immer die Möglichkeit zur Energieminimierung durch
Facettierung! |
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Die Abhängigkeit der Korngrenzenenergie
von der Orientierung ist spannender! |
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Wir müssen und fragen: Gibt es außer der 60° -
Rotation um <111> noch andere Orientierungen mit
"Vorzugsenergie"? |
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Dies ist am besten zu sehen, wenn man einen (2-dim.) Kristall
auf einem anderen rotiert; wir benützen zur Illustration die beiden
untengezeigten Modellkristalle. |
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