3.4 Zusammenfassung / Merkpunkte zu Kapitel 3: Perfekte Kristalle

Ein Kristall hat eine regelmäßige (dreidimensionale - periodische) Struktur.

Kristall = Gitter + Basis

Ein Kristall besteht immer aus (mathematischem Punkt-) Gitter und (physikalischer) Basis
     
Das Punktgitter ist vollständig durch einen Satz dreier Vektoren ai beschrieben; jedem Gitterpunkt kann ein Translationsvektor T zugeordnet werden  
T  =  u · a1 + v · a2 + w · a3   
Die Basis ist i.a. ein Atom oder ein Molekül, dabei sind der Komplexität keine Grenzen gesetzt.  
     
Ein Gitter kann noch verschiedene Grade an Symmetrie aufweisen: Neben der immer vorhandenenTranslationssymmetrie auch Rotations-, Spiegel- und Inversionssymmetrien.  
kub.-raumzentriert
kubisch-raumzentriert
bcc
kub.-flächenzentriert
kubisch-flächenzentriert
fcc
Hexagonal
Hexagonal
hcp
Je nach dem "Grad" der Symmetrie kann man genau 14 verschiedene "Bravais"-Gitter unterscheiden.  
Drei davon sind besonders wichtig: fcc, bcc, und hcp.  
Die Längen der Basisvektoren der Bravaisgitter heißen die Gitterkonstanten des Gitters.  
         
Richtungen werden in einem Koordinatensystem mit den drei Achsen des Bravaisgitters als kleinstmögliches ganzzahliges Tripel in eckigen Klammern beschrieben  
<uvw> Gesamtheit aller kristallographisch
gleichwertigen Richtungen
[uvw] Spezifische Richtung 
Negative Indizes werden durch einen (in HTML nicht direkt darstellbaren) Überstrich markiert.
Merke:

Allgemeine Indizierung
hat Klammern
mit "Spitzen".
Ebenen werden durch ein ganzzahliges Zahkentripel beschrieben und in runde Klammern gesetzt.
Die Indizes {hkl} sind dabei die reziproken (und ganzzahlig gemachten) Schnittpunkte der betrachteten Ebenen mit den Bravaisgitter - Koordinatenachsen.
{hkl} Gesamtheit aller kristallographisch
gleichwertigen Ebenen
(hkl) Spezifische Ebene
Es gibt zahlreiche Fallstricke und Konfusionmöglichkeiten!
Für kubische Gitter gilt:

[hkl] steht senkrecht auf (hkl)
dhkl   = a
(h2  +  k2  +  l2)1/2
Die so definierten Miller-Indizes sind aber außerordeentlich nützlich, da man mit ihnen rechnen kann!  
Unmittelbar erhält man aus den Miller Indizes für kubische Gitter den Abstand dhkl zweier Ebenen aus der Schar (hkl) für die Gitterkonstanten a.
         
Ungefähr 95% aller Elementkristalle haben ein fcc, bcc, oder hcp Gitter  
fcc = "face centred cubic": Au, Ag, Al, Fe(T > 720 oC), Ni, ...;
Si, Ge, C(Diamant), ...
bcc = "body centered cubic": Cs, Cr, K, Fe(RT), Ta, V, W,
hcp = "hexagonally close packed": Co, Cd, Mg, Zn, ..; C(Graphit), ...
Auch bei Elementkristallen kann dei Basis aus mehreren Atomen bestehen!  
Wichtiges Beispiel: C(Diamant), Si, Ge: fcc mit 2 Atomen in der Basis.  
         
Wichtige Kenngrößen:    
  • Koordinationszahl KZ = Zahl nächster Nachbarn
  • Packungsdichte PD
  • Zahl Atome pro EZ
 
Gittertyp fcc bcc hcp
KZ 12 8 12
Atome
pro EZ
4 2 2
PD 0,74 0,68 0,74
Für 1 - atomige Basis
Ein Element kann mehrere metastabile und stabile (als Funktion der Temperatur) Gittertypen haben  
Das fcc und hcp Gitter sind Varianten einer Kugelpackung mit gleicher und maximaler Packungsdichte. Die Stapelfolge ist:  
  • ABABA... auf der Basisebene für hcp
  • ABCABCA... auf der {111} Ebene für fcc
 
Dichteste Kugelpackungen sind bei ungerichteten Bindungen grundsätzlich zu erwarten.  
         
Weiter wichtige Kristalltypen haben i.a. mindesten zwei verschiedene Atome in der Basis.  
NaCl Gitter CsCl Gitter Zinkblende Gitter
Beispiele: NaCl Struktur: fcc, 2 Atome in der Basis; CsCl Struktur, kub-prim., 2 Atome in der Basis; Zinkblende; fcc, 2 Atome in der Basis (die meisten Halbleiter)  
         
Fragebogen
Multiple Choice Fragen zu 3.

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© H. Föll (MaWi 1 Skript)