2.5 Zusammenfassung / Merkpunkte zu Kapitel 2: Vom Atom zum Festkörper

Die wesentlichen Punkte, die wir zum Thema "Quantentheorie der Atome" behalten wollen sind:
Die primäre Größe, die den Zustand des Quantensystems beschreibt, ist die Wellenfunktion y. Sie enthält alles, was man über das System wissen kann. Die Wellenfunktion ist prinzipiell eine komplexe Funktion.
Das Absolutquadrat der Wellenfunktion, y · y*dV ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das (oder die) Teilchen in dem betrachteten (differentiellen) Volumen dV zu finden. Integriert über den ganzen Raum ergibt sich die Normierungsbedingung  
ó
õ
ó
õ
ó
õ
y · y* =  1
     
Die Wellenfunktion y eines Systems errechnet sich aus der (für unsere Zwecke ausreichenden zeitunabhängigen) Schrödingergleichung.  
Dabei ist (für unsere Zwecke), die potentielle Energie U(x,y,z) des Systems als Funktion der Teilchenpositionen die einzige "Input"größe.  
  Die (nebenstehende) Schrödingergleichung müssen wir nicht auswendig können; sie ist i.d.R. nicht leicht zu lösen.  

–  2
2m
æ
ç
è
2y(x,y,z)
x2
+ 2y(x,y,z)
y2
+ 2y(x,y,z)
z2
ö
÷
ø
+ æ
è
U(x,y,z)  –  E ö
ø
· y(x,y,z)  =  0

         
Exakte Lösungen zum Wasserstoffatom sind möglich, sie definieren die Quantenzahlen n, l, m und die zu einem dadurch gegebenen Zustand gehörende (konstante) Gesamtenergie E.  
Lösungen:      y = yn, l, m, s(x,y,z)
   
Zugehörige Energien:    E = En, l, m, s
     
Hauptquantenzahl n  =  1, 2, 3, ...
Nebenquantenzahl l  =  0, 1, 2, 3, ..., n – 1
Magnetische Quantenzahl m  =  l, l – 1, ..0,.., - l 
Spinquantenzahl s  =  +1/2 oder – 1/2
Darüberhinaus muß der Spin s der Teilchen berücksichtigt werden. Das Pauli Prinzip postuliert, daß Teilchen mit halbzahligem Spin (s = ±1/2; ±3/2, ...) nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen dürfen.  
   
Die Übertragung auf beliebige Atome führt zu einem Termschema mit Besetzungssystematik. Dabei zeigt sich, daß gefüllte Schalen besonders stabil sind, es liegen Edelgase vor.
Termschema Atome
Das Bestreben nach gefüllten Schalen regelt die "Chemie". Es kann quantifiziert werden durch die Materialparameter "Ionisationsenergie" und "Elektronenaffinität".
         
Man kann vier Bindungstypen unterscheiden: Ionische, kovalente, Metall- und Sekundärbindungen.  
Die anziehenden Kräfte der Ionenbindung sind rein elektrostatisch. Das zugehörige Potential ist das Coulomb Potential; wir haben
Uanz(Molekül)  =  – q1 · q2
4p · e0 · r
 
In einem Kristall muß aber die Wechselwirkung mit allen anderen Ionen berücksichtigt werden, die abwechselnd anziehend oder abstoßend ist. Dies äußert sich in einer um die Madelung Konstante modifierten potentiellen Energie der elektrostatischen Interaktion.  
Uanz(Kristall)  =  – a · q1 · q2
4p · e0 · r
     
Die abstoßenden Kräfte sind quantenmechanisch und nur näherungsweise durch das nebenstehende Potential Uanziehend = B/rm beschreibbar. Ionische Bndungen sind damit ungerichtet.  
Uabs(Molekül/Kristall)  =   B
r m
     
Damit ergibt sich ein Gesamtpotential für die ionische Bindung im Kristall mit der Form
Ugesamt(Kristall)  =  B 
r m
 –  a · q1 · q2
4p · e0 · r
   
Kovalente Bindungen entstehen durch Überlapp teilbesetzter Orbitale. Sie sind damit im Falle von p, l, ... Orbitalen gerichtet.    
Das Bindungspotential (in Bindungsrichtung ) ist durch Lösungen der S.-Gleichung gegeben und wird i.a. mit 4 freien Parametern dargestellt:  
Ukovalent  =  B 
r m
 –  A 
r n
   
Wichtig sind ggf. Hybridorbitale, insbesondere bei den Gruppe IV Elementen (C, Si, Ge, ...) das sp3 Hybridorbital mit Tetraedersymmetrie.  
     
Die Metallbindung besteht aus einem "Elektronensee" freier Elektronen, die die positiv geladenen Atomrümpfe zusammenhalten.  
Zwei der 4 freien Parameter können durch
Bindungsabstand und Bindungsenergie
substituiert werden
 
Das Bindungspotential hat 4 freie Parameter wie bei der kovalenten Bindung. Die Bindung ist natürlich ungerichtet.  
Sekundäre Bindungen sind relativ schwach (und ermöglichen damit "das Leben" bei Raumtemperatur). Wichtig sind Dipol-Dipol Bindungen (van der Waals Bindungen) und die Wasserstoffbrückenbindung.  
Die allgemeine Bindung ist möglicherweise eine Mischung aus verschiedenen Bindungstypen - und damit möglicherweise ein bißchen richtungsabhängig, etc.  
     
Ein Potential - Koordinate - Bild jeder Bindung hat ein Mimimum genannt "Topf". Mit solchen "Potentialtöpfen" kann man sich viele wichtige Größen sehr leicht veranschaulichen. Sie zeigen unmittelbar oder ein bißchen "versteckt":
Potentialtopf einer Bindung
Die Bindungsenergie U0.
Den Bindungsabstand oder Gleichgewichtsabstandr0.  
Die auf einen Bindungspartner wirkende Kraft F im Abstand r über F = –dU/dr (d.h. durch die Steigung).  
Die maximal notwendige Kraft zum Lösen der Bindung durch dF/dr = 0; d.h die Steigung am Wendepunkt.  
Außerdem kann man die Schwingungen der Teilchen anschaulich darstellen sowie die damit verbundene Gesamtenergie.  
Schwingungen in Potentialtopf
 
Das Konzept ist auch auf die Elektronen im Atom übertragbar.
Potentialtopf für Elektronen
Damit lassen sich sofort die Bindungstypen darstellen; für Festkörper wird die Aufspaltung von Einzelniveaus in Bänder zwingend.
Aus den Bindungspotentialen folgen direkt die defekt- oder strukturunempfindlichen Eigenschaften der Materialien:
E   =   n · m 
r03 · U0
   »  80 · kT
W
         
a   =   (n + m + 3)k
2 · n · m · U0
    »  const.
Tm
           
ef   =   æ
ç
è
n + 1
m + 1
ö
÷
ø
1/(n – m)  – 1    »  (15 - 30)%
           
w  =   æ
ç
è
E · r0
ma  
ö
÷
ø
1/2  »  1013 Hz
Der Elastizitätsmodul E = s/e als eine Art "Federkonstante" der Bindung (s = mech. Spannung = Kraft / Fläche; e = Dehnung = relative Längenänderung). W ist das Atomvolumen.
Der thermische Ausdehnungskoeffizient a als "Maß" für die Assymetrie des Potentialtopfes.  
Maximale Bruchspannung sf oder anschaulicher max. Bruchdehnung ef . Allerdings sind die errechenbare Werte hier nicht so sinnvoll, das sie nur die absolute Obergrenze angeben.  
Schwingungsfrequenz w der Atome um ihre Gleichgewichtslage.  
   
Insbesondere der E-Modul und die Schwingungsfrequenz sind von großer Bedeutung.  
 
Fragebogen
Multiple Choice Fragen zu Kapitel 2

Mit Frame Zurueck Weiter als PDF

© H. Föll (MaWi 1 Skript)