2.2.5 Merkpunkte Kapitel 2.2

Näherung (= Modell) des freien Elektrongases   Nur ein Elektron; Potential V = const = 0 im Kristall der Länge L; periodischen Randbedingungen
   
Ergebnis: Welle mit Amplitude (1/L)3/2
y(r)  =  æ
ç
è
1
L
ö
÷
ø
3/2 · exp (i · k · r)
   
Aufenthaltswahrscheinlichkeit überall gleich! Das Elektron ist "ausgeschmiert".  
y · y* = 1/L3
     
Entscheidende Größe ist der Wellenvektor k. Er bestimmt direkt:  
kx = ±   nx · 2p
L 
  ky = ±   ny · 2p
L 
  kz = ±   nz · 2p
L 
Die "Nummer" (= Quantenzahlsatz) der Lösung.
Den Impuls p = k.  
Die Gesamtenergie E µ k2.  
Die Wellenlänge l = 2p/k.  
 
Die Energie ist bezüglich der Quantenzahlen entartet. Die Zustandsdichte D(E) mißt, wieviel Zustände DNe sich in einem Energieintervall DE und im Volumen V befinden.
DNe  = D(E) · DE · V
   
Die Zustandsdichte ist über Abzählen im Phasenraum (= Raum der Wellenvektoren) leicht zu berechnen.
D(E)  =   (2 · m)3/2
2 · 3 · p2
· E 1/2
       
Beim Auffüllen der Zustände mit Elektronen (bei T = 0 K), wird bei einer definierten Energie - der Fermienergie EF - das letzte Elektron untergebracht sein.
EF  =  2
2me
æ
ç
è
3p2 · ne ö
÷
ø
2/3
Für eine bekannte Elektronendichte ne ist die Fermienergie leicht berechenbar.  
Zustandsdichte und Fermienergie sind für die elektronischen Eigenschaften realer Kristalle die wichtigsten Kenngrößen überhaupt! Sie sind immer noch wohl definiert, auch wenn die einfachen Modellformeln des freien Elektronengases für reale Kristalle modifiziert werden müssen!

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© H. Föll (MaWi 2 Skript)