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Näherung (= Modell) des freien Elektrongases |
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Nur ein Elektron; Potential V =
const = 0 im Kristall der Länge
L; periodischen Randbedingungen |
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Ergebnis: Welle mit Amplitude
(1/L)3/2 |
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| y(r) |
= |
æ
ç
è |
1
L |
ö
÷
ø |
3/2 |
· exp |
(i · k · r) |
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Aufenthaltswahrscheinlichkeit
überall gleich! Das Elektron ist "ausgeschniert". |
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Entscheidende Größe ist
der Wellenvektor k. Er bestimmt direkt: |
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| kx = ± |
nx · 2p
L |
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ky = ± |
ny · 2p
L |
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kz = ± |
nz · 2p
L |
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Die "Nummer" (= Quantenzahlsatz) der
Lösung. |
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Den Impuls p =
 k. |
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Die Gesamtenergie E µ k2. |
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Die Wellenlänge l = 2p/k. |
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Die Energie ist bezüglich der
Quantenzahlen entartet. Die Zustandsdichte D(E) mißt,
wieviel Zustände DNe
sich in einem Energieintervall DE und
im Volumen V befinden. |
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Die Zustandsdichte ist über Abzählen im
Phasenraum (= Raum der Wellenvektoren) leicht zu berechnen. |
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| D(E) = |
(2 · m)3/2
2 · 3 ·
p2 |
· E 1/2 |
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Beim Auffüllen der Zustände
mit Elektronen (bei T = 0 K), wird bei einer definierten Energie
- der Fermienergie EF - das letzte Elektron
untergebracht sein. |
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| EF |
= |
2
2me |
æ
ç
è |
3p2 · ne |
ö
÷
ø |
2/3 |
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Für eine bekannte Elektronendichte
ne ist die Fermienergie leicht berechenbar. |
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Zustandsdichte und Fermienergie sind
für die elektronischen Eigenschaften realer Kristalle die wichtigsten
Kenngrößen überhaupt! Sie sind immer noch wohl definiert, auch
wenn die einfachen Modellformeln des freien Elektronengases für reale
Kristalle modifiziert werden müssen! |
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© H. Föll
