Atomare Fehlstellen sind im allgemeinen beweglich (zumindest
bei hohen Temperaturen). Damit werden auch Atome beweglich - wir beobachten das
Phänomen der Festkörperdiffusion, d.h. Materietransport im
Festkörper. |
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Moderne Technologie beruht in vielen Technologiefeldern auf der Diffusion in Festkörpern. Besonders prominent sind | |||
Mikroelektronik und Optoelektronik | |||
Sensorik in vielen Ausführungen | |||
Batterien, Akkus, Brennstoffzellen, aber z.B. auch die | |||
Kerntechnik (Diffusion von Neutronen). | |||
Art und Konzentration der vorhanden atomaren
Fehlstellen, Gleichgewichtsbetrachtungen (globales, lokales
Gleichgewicht, oder totales Nichtgleichgewicht), und atomare Mechanismen
der Diffusion bestimmen das Ergebnis - die mögliche Vielfalt ist sehr
groß, selbst bei einfachsten Systemen (z.B. Phosphor in Silizium). |
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Wiederholung einiger bekannter Beziehungen |
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1. Ficksches Gesetz | |||
Fluß j proportional zum Konzentrationsgradient | |||
der Index i bezieht sich dabei auf die Teilchensorte. (Bei der Frage, ob, und ggf. wie, die Teilchensorte i diffundiert, falls nur die Sorte k einen Konzentrationsgradienten zeigt, wird es spannend). Erheblich allgemeiner gilt | |||
mit m=chem. Potential; M=Beweglichkeit Da der Gradient des chemischen Potentials auch bei konst. Konzentration von 0 verschieden sein kann, sind damit auch Phämonene wie die "uphill diffusion" erfaßt. |
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Kontinuitätsgleichung | |||
Was in einem Volumenelement sich ändert, kommt aus der Differenz dessen was rein- und was rausläuft - Konsequenz aus dem Erhaltungssatz der Teilchenzahl. | |||
Stimmt natürlich dann nicht, wenn Teilchen vernichtet oder erzeugt werden können. | |||
2. Ficksches Gesetz | |||
Die zeitliche Änderung der Konzentration ist proportional zur zweiten Ableitung der Konzentration (Aus 1. Fickschem Gesetz + Kontinuitätsgleichung) | |||
oder für D=konst. |
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Lösungen der Fickschen Gesetze sind im allgemeinen nicht einfach. | |||
Trotz simpler Differentialgleichungen existieren in der Regel keine simplen Lösungen. | |||
Bereits behandelt: Eindiffusion aus unendlicher oder endlicher Quelle (Gaußverteilung, Fehlerfunktion; bei ELYMAT mit Quellen und Senken). | |||
Lösungen für viele behandelte Fälle in Handbüchern. | |||
Wärmeleitung (in Festkörpern) ist mathematisch äquivalent, weil letztendlich auch durch Diffusion vermittelt. | |||
Kompliziertere Diffusuionsphänomene sind letzlich nur dann mit wenigen anpaßbaren Parametern nur zu behandeln, wenn die atomaren Mechanismen bekannt sind und in die Modelle eingebaut werden. | |||
Die statistischen Funktionen treten auf, weil die Diffusion
letztlich ein rein statistischer Vorgang ist - das Einzelatom weiß nichts
von seiner (Teilchen)- Umgebung und hüpft rein statistisch (solange nicht
Felder direkt Kräfte ausüben). |
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Kopplung Phänomenologie - Einzelereignis |
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Strom=Differenz Sprünge nach rechts - Sprünge nach links führt auf 1. Ficksches Gesetz mit Diffusionskoeffizient (für kub. Symmetrie) | |||
mit a=Gitterkonstante, Faktor 1/6 wg.
kub. Symmetrie. Wobei die Sprungrate verwendet wird. Dabei ist cV=Konzentration der springenden Spezies (typischerweise Leerstellen V), und es werden alle Sprünge, nicht nur die in Flußrichtung, betrachtet [deswegen der Faktor 1/6 bzw g (s. nächste Formel)] |
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Mit einem Boltzmann-Ansatz für die Sprungfrequenz v ergibt sich
allgemein
mit g=Geometriefaktor, hSpr=freie Enthalpie für Sprung. |
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"Random Walk" und Diffusion | |||
Korreliert man das bei rein statistischen Sprüngen nach der Zeit
t zurückgelegte mittlere Verschiebungsquadrat (=die
Diffusionlänge2) L2 mit der Diffusionskonstanten, gilt dabei ist t die (mittlere) Lebensdauer, falls das betrachtete Teilchen "vernichtet" werden kann. |